線性 VS 非線性 定義

資料來源: https://cg2010studio.com/2013/03/13/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E8%88%87%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E6%80%A7/

    一直搞不清楚線性與非線性的差異，網路上一堆解釋越看越糊塗，只好自己跳出來整理，果然一下子就明朗囉: 一直以為線性是1對1，而非線性是1對多、多對1或多對多

維基百科這麼描述：

    非線性是指兩個變數之間的關係，是不成簡單比例（即線性）的關係。
    
    所謂線性，從數學上來講，是指方程的解滿足線性疊加原理，即方程任意兩個解的線性疊加仍然是方程的一個解。
    
    線性意味著系統的簡單性，但自然現象就其本質來說，都是複雜的、非線性的。所幸的是，自然界中許多現象都可以在一定程度上近似為線性。
    
    傳統的物理學和自然科學就是為各種現象建立線性模型，並取得了巨大的成功。而隨著人類對自然界中各種複雜現象的深入研究，越來越多的非線性現象開始進入人類的視野。

百度百科這麼描述：

    非線性即non-linear，是指輸出和輸入不是成正比例的情形。

    自變量與變量之間不成線性關係，成曲線或拋物線關係或不能定量，這種關係叫非線性關係。

    「線性」與「非線性」，常用於區別函數y = f(x)對自變量x的依賴關係。

    線性函數即一次函數，其圖像為一條直線。其它函數則為非線性函數，其圖像不是直線。

線性代數的定義

    想判斷一個複雜函數是否為線性：若F為線性，則須滿足

        F(0) = 0
        F(ax+y) = aF(x) + F(y)，其中x、y為變數a為常數

    快速判斷的方法：變數在以下狀況為非線性～在這些以外的通常就是線性
        (變數)^n，且n不為1～有任何一個變數有n次方的就不會是線性
        |變數| ～有變數在絕對值內的不會是線性
        sgn(變數) ～有變數在符號函數內的不會是線性
        a(變數)+b～有不為0常數的不會是線性