數學 線性定義

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簡單的判斷方法，所有”未知數”的冪次項為一次。

例如：
(1) 方程式 x + 7 = 6 ，其中 x 為未知數，且冪次為 1 ，

 　 所以此為線性方程式。

(2) 方程式 { x + y = 4 , x – 2y = 7 }，其中 x 、 y 為未知數，

 　 且冪次為 1 ，所以此為”線性”方程式，且為聯立方程式。

(3) 方程式 x² + 3x + 4 = 0 ，未知數 x ，有一冪次為 2 的項，

 　 所以此為非線性方程式。

(4) sin(x) + x = 4 ，未知數 x ，出現在超越函數內，非線性。

線性微分方程式，所有”未知函數”的冪次為一次。

例如：
(1) 方程式 y'(x) + y(x) = 0 ，其中 y'(x) 、 y(x) 為未知數函數，

 　 且冪次為 1 ，所以此為線性微分方程式。( x 是自變數，非未知函數 )

(2) 方程式 { y'(t) + x(t) = 0 , x'(t) – y(t) = 0 }， t 為自變數，
 　 x(t) 、 x'(t) 、 y(t) 、 y'(t) 為未知數函數，冪次為 1 ，

 　 故此為”線性”聯立微分方程式。

(3) 方程式 y”(x) – x．y'(x) + y(x) = 0 ，
 　 未知函數有 y”(x)、y'(x)、y(x) ，所有的未知函數項冪次都為 1 ，
 　 故此為線性微分方程式。

 　 {注意 x 為係數，且為變係數，所以稱此為「二階線性變係數微分方程式」}

 

(4) sin(x(t)) + x”(t) = 4 ，未知函數 x(t) ，出現在超越函數內，
 　 所以此為非線性微分方程式。