在〈實作海龜繪圖〉中，海龜在沙灘上爬行，爬過的路線會留下痕跡，如果現在這海龜爬入海中了，游過的路線會留下痕跡，那會是什麼情況？因為在海中，海龜可不只會在一個平面上，而會是在立體空間中游動的啊！

簡單的構想？

因為我們已經實作過 2D 的海龜繪圖了，若想實現 3D 海龜繪圖，一個簡單的構想是，除了平面上的轉動之外，多記錄海龜抬頭的角度。

這樣做的好處是，可以在〈實作海龜繪圖〉中的程式碼基礎上修改，增加 φ 方面的計算，這並不難，然而，海龜就只會有原地轉動與抬頭兩個自由度，另一個問題是，如果你想畫個三角形，而這個三角形構成的平面，必須與 xy 平面夾 30 度，那麼海龜應該怎麼動作？

你也許會想，讓海龜前進一個邊長，轉動 120 度，抬頭 30 度，再前進一個邊長之類的，很可惜地，這是錯的，實際上，第一次轉動必須是 125.264 度（試著計算看看吧！）也就是說，這種方式雖行得通，但計算上非常麻煩。

改用向量來思考

實際上，實作海龜繪圖時，可以用向量來思考，假設一開始海龜頭朝 x 軸方向，而海龜本身有個座標系統 x'、y'，可以想像一下你坐在海龜上，這個 x'、y' 是以你的觀點看到的座標。

目前在上面的圖中，海龜本身 x'、y' 座標系統與 x、y 座標系統是一致的，如果用 (1, 0) 表示 x' 方向的單位向量，(0, 1) 表示 y' 方向的單位向量，現在海龜轉動 θ 角度的話：

那麼從 x、y 座標系統來看，轉動前 x' 方向的單位向量 (1, 0) 以及 y' 方向的單位向量 (0, 1)，轉動後 x' 方向的單位向量，就是將 (1, 0) 這個座標繞 z 軸轉動，而轉動後 y' 方向的單位向量，就是將 (0, 1) 這個座標繞 z 軸轉動。

因此，你必須某個座標 (x, y) 若繞 z 軸轉動後，新座標該如何計算，這可以參考〈三維直角座標之繞軸旋轉〉。

一個簡單的情況是 θ 為 45 度時，那麼從 x、y 座標系統來看，x' 方向的單位向量會變成 (1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2))，y' 方向的單位向量會變成 (- 1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2))。如果海龜現在朝著 x' 方向前進 L 的話，實際上產生的向量會是 (L * 1 / sqrt(2), L * 1 / sqrt(2))，也就是 L 乘上 x' 的單位向量，得到的是下圖中的橘色向量。

因此，如果不是從原點出發，而是從某個點 (x1, y2) 出發，那麼海龜新的 xy 座標就會是 (x1 + L * 1 / sqrt(2), y1 + L * 1 / sqrt(2))。

在〈實作海龜繪圖〉中，其實就只是假設海龜只會在 x' 方向移動，因而可以不用考慮 y' 方向上移動，只用純綷的三角函式來進行計算，而不用使用向量來思考。

然而，一旦改用向量的方式來思考，那麼你也可以讓海龜在 y' 方向上移動，這就像是…可以橫著走的海龜，是有點怪啦！把海龜想像成一個有全向輪的機器人，可能比較符合這樣的移動方式吧！只不過，海龜繪圖這名字比較有名，就還是用海龜吧！

來到 3D 海龜繪圖

使用向量來思考海龜繪圖，接著要擴充到 3D 時就簡單多了，我們有個座標系統 (x, y, z)，然而，你坐在海龜上，看到的座標系統為 (x', y', z')，同樣地，一開始我們使用 (1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)，從 (x, y, z) 的觀點來表示 x'、y'、z' 軸上的單位向量。

同樣地，無論海龜是繞 x 軸、y 軸或 z 軸轉動，都透過〈三維直角座標之繞軸旋轉〉計算，得到從單位向量的新值，然後，如果海龜現在朝著 x' 方向前進 L 的話，就是用 x' 方向的單位向量乘上 L，然後加上目前海龜的座標點，就可以得到海龜前進後新的座標點。

當然，就這個方法而言，除了在 x' 方向移動之外，你也可以讓海龜在 y' 或者 z' 方向移動（就別管海龜能不能側著游了啦！）

根據這樣的觀念，我們可以實作出以下的 3D 海龜繪圖程式碼，為了能在 3D 空間畫線，使用到〈3D 線段〉實作的 polyline3D 模組：

function x(pt) = pt[0];
function y(pt) = pt[1];
function z(pt) = pt[2];

function pt3D(x, y, z) = [x, y, z];

function turtle3D(pt, coordVt) = [pt, coordVt];
function getPt(turtle) = turtle[0];
function getCoordVt(turtle) = turtle[1];

function plus(pt, n) = pt3D(x(pt) + n, y(pt) + n, z(pt) + n);
function minus(pt, n) = pt3D(x(pt) - n, y(pt) - n, z(pt) + n);
function mlt(pt, n) = pt3D(x(pt) * n, y(pt) * n, z(pt) * n);
function div(pt, n) = pt3D(x(pt) / n, y(pt) / n, z(pt) / n);
function neg(pt, n) = mlt(pt, -1);

function ptPlus(pt1, pt2) = pt3D(x(pt1) + x(pt2), y(pt1) + y(pt2), z(pt1) + z(pt2));

// 在海龜的 x' 軸方向移動
function moveX(turtle, leng) = turtle3D(
    ptPlus(getPt(turtle), mlt(getCoordVt(turtle)[0], leng)),
    getCoordVt(turtle)
);

// 在海龜的 y' 軸方向移動
function moveY(turtle, leng) = turtle3D(
    ptPlus(getPt(turtle), mlt(getCoordVt(turtle)[1], leng)),
    getCoordVt(turtle)
);

// 在海龜的 z' 軸方向移動
function moveZ(turtle, leng) = turtle3D(
    ptPlus(getPt(turtle), mlt(getCoordVt(turtle)[2], leng)),
    getCoordVt(turtle)
);

// 繞海龜的 x' 軸轉動，計算 x' 方向單位向量
function turnX(turtle, a) = turtle3D(
    getPt(turtle),
    [
        getCoordVt(turtle)[0], 
        ptPlus(mlt(getCoordVt(turtle)[1], cos(a)), mlt(getCoordVt(turtle)[2], sin(a))), 
        ptPlus(mlt(neg(getCoordVt(turtle)[1]), sin(a)), mlt(getCoordVt(turtle)[2], cos(a)))
    ]
);

// 繞海龜的 y' 軸轉動，計算 y' 方向單位向量
function turnY(turtle, a) = turtle3D(
    getPt(turtle),
    [
        ptPlus(mlt(getCoordVt(turtle)[0], cos(a)), mlt(neg(getCoordVt(turtle)[2]), sin(a))),
        getCoordVt(turtle)[1], 
        ptPlus(mlt(getCoordVt(turtle)[0], sin(a)), mlt(getCoordVt(turtle)[2],cos(a)))
    ]
);

// 繞海龜的 z' 軸轉動，計算 z' 方向單位向量
function turnZ(turtle, a) = turtle3D(
    getPt(turtle),
    [
        ptPlus(mlt(getCoordVt(turtle)[0], cos(a)), mlt(getCoordVt(turtle)[1],sin(a))),
        ptPlus(mlt(neg(getCoordVt(turtle)[0]), sin(a)), mlt(getCoordVt(turtle)[1], cos(a))),
        getCoordVt(turtle)[2], 
    ]
);

// 3D 線段
module line3D(p1, p2, thickness, fn = 24) {
    $fn = fn; 

    hull() {
        translate(p1) sphere(thickness / 2);
        translate(p2) sphere(thickness / 2);
    }
}

// 根據多個點繪製 3D 線段
module polyline3D(points, thickness, fn) {
    module polyline3D_inner(points, index) {
        if(index < len(points)) {
            line3D(points[index - 1], points[index], thickness, fn);
            polyline3D_inner(points, index + 1);
        }
    }

    polyline3D_inner(points, 1);
}

t = turtle3D(
    pt3D(0, 0, 0), 
    [pt3D(1, 0, 0), pt3D(0, 1, 0), pt3D(0, 0, 1)] // 海龜座標單位向量
);

leng = 10;

t2 = moveX(t, leng);
polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], 1 , 4);

t3 = moveX(turnZ(t2, 120), leng);
polyline3D([getPt(t2), getPt(t3)], 1 , 4);

t4 = moveX(turnZ(t3, 120), leng);
polyline3D([getPt(t3), getPt(t4)], 1 , 4);

既然是 3D 海龜繪圖，當然也可以實行 2D 海龜繪圖囉！上面的程式碼最後在 xy 平面畫了個三角形：

如果想實現方才的需求，畫個三角形，而這個三角形構成的平面，必須與 xy 平面夾 30 度，該怎麼做呢？你只要先讓海龜繞 x' 軸轉 30 度，那麼海龜現在就是與 xy 平面夾 30 度啦！接著就是以海龜的觀點畫三角形，也就是繞 z' 轉 120 畫邊長，重複三次就可以了：

程式碼同前...略…

leng = 10;

t2 = moveX(turnX(t, 30), leng); // 只要改這邊，先繞 x' 軸轉 30 度就可以了
polyline3D([getPt(t), getPt(t2)], 1 , 4);

t3 = moveX(turnZ(t2, 120), leng);
polyline3D([getPt(t2), getPt(t3)], 1 , 4);

t4 = moveX(turnZ(t3, 120), leng);
polyline3D([getPt(t3), getPt(t4)], 1 , 4);

當然，實現 3D 海龜繪圖，需要多一點的數學，不過這值得，之後就可以畫些三維的圖樣了，想想看，你有辦法畫個 3D 版本的〈樹木曲線〉嗎？