在〈Haskell Tutorial（25）可被映射盒中物的 Functor〉中，你應該知道一個 Functor 的行為，是能在 fmap 被指定對應的函式之後，從 f a 到 f b，在還沒有談到 Functor 前，其實已經看過類似的行為，也就是 List 與 map，Functor 不過就是進一步將這個行為規範出來並命名為 fmap 而已，因此，重點在於瞭解 fmap …

從 map 開始

List 的 map 是什麼樣的行為？它的型態是 (a -> b) -> [a] -> [b]，這你很熟悉了，從另一個角度來看呢？如果 f 是個 a -> b 的函式，map f 呢？Haskell 中函式可以部份套用，因此 map f 會傳回一個函式，型態是 [a] -> [b]，例如：

因此，從這個角度來看，你可以定義 add2 = map (+2)，這樣就可以得到將 [Integer] 對應 [Integer] 的函式，也就是你就可以使用 add2 [1, 2, 3] 得到 [2, 3, 4]，你也可以定義 lengthes = map length，得到將 [[a]] 對應至 [Int] 的函式，這樣你就可以使用 lengthes ["Justin", "Monica", "Irene"] 得到 [6, 6, 5]。

那麼，如果是 map id 呢？id 是個恒等函式（Identity function），型態是 a -> a，它做的事只是將給定的引數做為傳回值，不做多餘的事，因此，map id 的結果就是得到一個 [b] -> [b] 的函式，例如：

這個例子在告訴你，map 不會做多餘的事，如果你要的對應是將原 List 中的元素逐個對應至新的 List，map 也是如實完成，本來就該如何，你不會希望 map 在對應的過程中，隱藏了某些你指定的函式外的多餘行為。

另一個你希望 map 要遵守的事是：

也就是說，如果你分開對 List 做數個 map 與對應函式的指定，結果應該與這些函式的函式合成相同，這樣我們才能視可讀性等情況採取想要的方式，而結果是相同的。

檢視 fmap 的實作

透過檢視熟悉的 List 與 map，我們可以瞭解到 Functor 的 fmap 實際上是什麼，也可以瞭解它應當遵守哪些條例，fmap 的型態是 (a -> b) -> f a -> f b，它接受一個函式與一個 f a 型態的值，然後傳回 f b 的值，從另一個角度來看呢？如果 f 是個 a -> b 的函式呢？

Haskell 中函式可以部份套用，因此 fmap f 會傳回一個函式，型態是 f a -> f b，也就是 fmap 其實能將 a -> b 的函式提昇（Lift）為一個 f a -> f b 的函式，在上頭，map 也是，其實它是能將一個 a -> b 的函式提昇為一個 [a] -> [b] 的函式。

因此，你可以定義一個 add2 = fmap (+2)，型態是 (Functor f, Num b) => f b -> f b，這樣你就可以使用這個函式，將 Just 3 對應至 Just 5，將 [1, 2, 3] 對應至 [3, 4, 5] …

也就是說，fmap 在指定一個函式後傳回的函式，可以將一個 Functor 實例對應至另一個 Functor 實例，兩個 Functor 實例的型態相同，但內含值不同。

實際上，在〈Haskell Tutorial（25）可被映射盒中物的 Functor〉的範例中，findZipCode、findCity 的函式型態早就說明了這點，它們分別是 Maybe String -> Maybe Int 與 Maybe String -> Maybe String，實際上這兩個函式也可以寫成 Point free 風格：

findZipCode :: Maybe String -> Maybe Int
findZipCode = fmap zipCode

findCity :: Maybe String -> Maybe String
findCity = fmap city

我們需要的就只是 Maybe String -> Maybe Int 與 Maybe String -> Maybe String 的函式，而這可以透過 fmap zipCode 與 fmap city 來得到。

既然如此，fmap 該做的事，就只是按照我們指定的函式做對應，不應該做多餘的事，因此，對 fmap 指定 id，傳回的函式在進行 Functor 的對應，其結果應該與對 Functor 執行 id 相同。例如：

進一步地，fmap 指定的函式，若為數個函式合成，那對 Functor 的執行結果，應與數個函式分別進行 fmap 相同。例如：

Functor 定律

最後兩個例子與陳述點出了 Functor 在實作 fmap 時應該遵合的定律，這在 Data.Functor 的文件中也有定義：

fmap id  ==  id
fmap (f . g)  ==  fmap f . fmap g

以上兩條分別對應的陳述就是：

fmap 該做的事，就只是按照我們指定的函式做對應，不應該做多餘的事，因此，對 fmap 指定 id，傳回的函式在進行 Functor 的對應，其結果應該與對 Functor 執行 id 相同。
fmap 指定的函式，若為數個函式合成，那對 Functor 的執行結果，應與數個函式分別進行 fmap 相同。

說穿了沒什麼，其實就是要遵指定的守函式既有之行為，fmap 就是提供 Functor 與 Functor 間的對應，不當有額外的行為，就像物件導向中，子類別實作父類別或介面的方法時，應該遵守方法訂下的既有行為，不應該有額外的行為，像是如果父類別或介面中規範方法時，沒有副作用，子類別實作時就不應該產生副作用這類的規範。