上三角、下三角、對稱矩陣


說明

上三角矩陣是矩陣在對角線以下的元素均為0，即Aij = 0，i > j，例如：
1   2   3     4    5
0   6   7     8    9
0   0   10    11   12
0   0   0     13   14
0   0   0     0    15

下三角矩陣是矩陣在對角線以上的元素均為0，即Aij = 0，i < j，例如：
 1   0   0   0   0
 2   6   0   0   0
 3   7   10  0   0
 4   8   11  13  0
 5   9   12  14  15

對稱矩陣是矩陣元素對稱於對角線，例如：
 1   2   3   4   5
 2   6   7   8   9
 3   7   10  11  12
 4   8   11  13  14
 5   9   12  14  15

上三角或下三角矩陣也有大部份的元素不儲存值（為0），我們可以將它們使用一維陣列來儲存以節省儲存空間，而對稱矩陣因為對稱於對角線，所以可以視為上三角或下三角矩陣來儲存。

解法

假設矩陣為nxn，為了計算方便，我們讓陣列索引由1開始，上三角矩陣化為一維陣列，若以列為主，其公式為：
loc = n*(i-1) - i*(i-1)/2 + j

化為以行為主，其公式為：
loc = j*(j-1)/2 + i

下三角矩陣化為一維陣列，若以列為主，其公式為：
loc = i*(i-1)/2 + j

若以行為主，其公式為：
loc = n*(j-1) - j*(j-1)/2 + i

公式的導證其實是由等差級數公式得到，您可以自行繪圖並看看就可以導證出來，對於C/C++或Java等索引由0開始的語言來說，只要將i與j各加1，求得loc之後減1即可套用以上的公式。

實作：C    Java    Python    Scala    Ruby

  • C 
#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 


int main(void) { 
    int arr1[N][N] = { 
        {1, 2, 3,  4,   5}, 
        {0, 6, 7,  8,   9}, 
        {0, 0, 10, 11, 12}, 
        {0, 0, 0,  13, 14}, 
        {0, 0, 0,  0,  15}}; 

    int arr2[N*(1+N)/2] = {0}; 

    int i, j, loc = 0; 

    printf("\n以列為主："); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            if(arr1[i][j] != 0) 
                arr2[loc++] = arr1[i][j]; 
        } 
    } 
    for(i = 0; i < N*(1+N)/2; i++) 
        printf("%d ", arr2[i]); 

    printf("\n輸入索引(i, j)："); 
    scanf("%d, %d", &i, &j); 
    loc = N*i - i*(i+1)/2 + j; 
    printf("(%d, %d) = %d", i, j, arr2[loc]); 

    printf("\n"); 

    return 0; 
}

  • Java 
import java.util.*;

public class TriangleArray {
    private List<Integer> list;
    private int length;
    
    public TriangleArray(int[][] array) {
        length = array.length;
        list = new ArrayList<Integer>(length * (1 + length) / 2);
        for(int i = 0; i < length; i++) { 
            for(int j = 0; j < length; j++) { 
                if(array[i][j] != 0) 
                    list.add(array[i][j]);
            } 
        }
    }
    
    public int get(int i, int j) {
        return list.get(length * i - i * (i + 1) / 2 + j);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] array = {{1, 2, 3,  4,   5}, 
                         {0, 6, 7,  8,   9}, 
                         {0, 0, 10, 11, 12}, 
                         {0, 0, 0,  13, 14}, 
                         {0, 0, 0,  0,  15}};
        
        TriangleArray triangleArray = new TriangleArray(array);
        System.out.print(triangleArray.get(2, 2));
    }
}

  • Python
class TriangleArray:
    def __init__(self, array):
        self.__length = len(array)
        self.__list = []
        for i in range(self.__length):
            for j in range(self.__length):
                if array[i][j] != 0:
                    self.__list.append(array[i][j])
    def get(self, i, j):
        return self.__list[self.__length * i - i * (i + 1) // 2 + j]

array = [ 
            [1, 2, 3,  4,   5], 
            [0, 6, 7,  8,   9], 
            [0, 0, 10, 11, 12], 
            [0, 0, 0,  13, 14], 
            [0, 0, 0,  0,  15]
        ]

triangleArray = TriangleArray(array)
print(triangleArray.get(2, 2))

  • Scala
class TriangleArray(array: Array[Array[Int]]) {
    val length = array.length;
    val arr = (for(i <- 0 until length; j <- 0 until length
                   if array(i)(j) != 0
               ) yield array(i)(j)).toArray
               
    def get(i: Int, j: Int) = {
        arr(length * i - i * (i + 1) / 2 + j)
    }
}

val array = Array(
               Array(1, 2, 3,  4,   5), 
               Array(0, 6, 7,  8,   9), 
               Array(0, 0, 10, 11, 12), 
               Array(0, 0, 0,  13, 14), 
               Array(0, 0, 0,  0,  15)
            )
val triangleArray = new TriangleArray(array)
print(triangleArray.get(2, 2))

  • Ruby
class TriangleArray
    def initialize(array)
        @length = array.length
        @list = []
        @length.times { |i|
            @length.times { |j|
                if array[i][j] != 0
                    @list << array[i][j]
                end
            }
        }
    end
    def get(i, j)
        @list[@length * i - i * (i + 1) / 2 + j]
    end
end


array = [ 
            [1, 2, 3,  4,   5], 
            [0, 6, 7,  8,   9], 
            [0, 0, 10, 11, 12], 
            [0, 0, 0,  13, 14], 
            [0, 0, 0,  0,  15]
        ]

triangleArray = TriangleArray.new(array)
puts triangleArray.get(2, 2)